CAPITULO 2
CONDUCCION DE CALOR EN REGIMEN PERMANENTE
En el capítulo 1 nos hemos referido de manera general a los diferentes mecanismos de transferencia de calor, que son: Conducción, Convección y Radiación, además de sus combinaciones. En este capítulo analizaremos más profusamente el proceso de conducción, en flujo permanente de calor.
Recordemos que la transferencia de calor por conducción se lleva a cabo en medios sólidos, que pueden ser placas de diferentes materiales.

Ahora trataremos la transferencia por conducción de calor para diferentes formas de paredes:
1) En placas de paredes planas
2) En placas curvas de paredes cilíndricas
3) En placas cóncavas de paredes esféricas
Donde obtendremos en cada caso:

a ) La ecuación del perfil o curva de distribución de las temperaturas sobre las diferentes formas de placas mediante la Ecuación General de la Conducción.

b ) La ecuación de la rapidez de flujo de calor mediante la Ley de Fourier en Conducción unidireccional.
Recordemos también que la ecuación general de flujo de calor, en cualquiera de los tres mecanismos, es:
Donde:
T1: Temperatura más alta
T2: Temperatura más baja
Q: Flujo de Calor tranferido

Y que la expresión de (R) Resistencia térmica es lo que pretendemos obtener en este capítulo para las diferentes formas de placas.
También se procurará en cada caso de flujo de calor apegarse a la recomendación de:

a) Hacer un dibujo esquemático que muestre la pared o paredes y la localización de las temperaturas superficiales o fluídicas.
b) Dibujar un circuito termoeléctrico mostrando las temperaturas superficiales o fluídicas, las resistencias térmicas y el tipo de transferencia.
c) Escribir el balance de energía y las fórmulas simples o combinadas aplicables a cada parte del circuito.
2.1 ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN
Analicemos que sucede con la temperatura sobre una superficie de transferencia de calor. Para ello consideremos una superficie cualquiera que en un instante dado tiene una temperatura uniforme en todos sus puntos, excepto en uno de ellos en el cual la temperatura es mayor. Como resultado se producirá una transmisión de calor desde ese punto hacia el resto de la superficie.

La temperatura en esos puntos coordenados (x,y,z) irá aumentando con el tiempo (t), siendo esta variación del campo térmico una función de tipo escalar, que se expresa:
La expresión indica que la temperatura (T) depende de las tres coordenadas espaciales (x,y,z) y del tiempo ( t ).

Si unimos todos los puntos que en un momento tienen la misma temperatura obtendremos superficies llamadas isotermas, las que interceptadas con un plano forman curvas isotérmicas.

Ahora involucremos el area de esa superficie: es decir, analicemos cómo se realiza la transferencia de calor a traves de un elemento de area (dA) de esta superficie isotérmica.
El calor a manera vectorial se distribuye en dirección normal (qn) y en dirección tangencial (qt) a la superficie isotérmica (dA), Ver Fig. 2.1, pero como el vector tangencial une dos puntos isotérmicos infinitamente próximos, no puede existir una diferencia de temperatura entre ellos, lo cual implica que el vector tangencial (qt) vale cero y por lo tanto solo prevalece el vector normal.

Por lo anterior concluimos que la transferencia de calor se realiza en forma normal a las superficies isotérmicas.

En algunos casos en el que calor se propaga igualmente en todas las direcciones en un cuerpo, se dice que el cuerpo es termicamente isótropo. Materiales de hormigón, madera y algunos cristales no son isótropos.
Fig. 2.1
Ley de Fourier de conducción de calor
Debido a que la transmisión de calor por conducción está asociada a un intercambio de energía cinética molecular, cuyo estudio analítico es muy complejo, se ha recurrido a la experimentación para su análisis. Por este medio FOURIER determinó que el flujo de calor (dQ) unidireccional que se puede transferir es directamente proporcional al área isotérmica (dA) de transferencia, además de la diferencia de temperatura (dT) entre las dos caras de la pared de una placa cuyo espesor es (dx). Es decir que están correlacionados proporcionalemente, y que la constante de proporcionalidad (a) es un valor que depende del material de la placa.
La correlación se expresa así:
Ec. 2.1
Flujo de calor (Rapidez de flujo)

Evaluando esta expresión Ec. 2.1 en el límite cuando el elemento diferencial (dx) tiende a cero, se obtiene la ecuación de FOURIER para el flujo de calor (Rapidez de flujo) que se transmite de manera unidireccional:
Ec. 2.2
Donde (K) es la constante de proporcionalidad de nombre Conductividad térmica, y cuyas unidades en el S.I. son:
Flujo de calor por unidad de area (Rapidez de flujo de calor por area)

Si ahora el flujo de calor lo relacionamos con la variable area de transferencia (dA) , entonces estamos obteniendo la rapidez de flujo de calor por unidad de area o simplemente flujo de calor por area (q). Reacomodando (dA) y sustituyéndo en la Ec. 2.2. se obtienen 2 expresiones que son equivalentes:
Ec. 2.3
Deduciendo sus unidades-.- Sustituyendo las unidades de (K), (dT), (dx):
Ley General de conducción de calor
De forma general, la Ley de Fourier de transferencia de calor por el fenómeno de conducción para una placa termicamente isótropo, se expresa tridimensionalmente, a semejanza de la ec. 2.3, como:
Ec. 2.4
Desarrollando el gradiente de temperatura en terminos de vectores unitario:
Ec. 2.5
Donde:
q: flujo de calor por unidad de area
T: campo de temperaturas , T = f ( x, y, z ) en régimen permanente ( la temperatura no varía en el tiempo )
K: conductividad térmica del material
En régimen permanente la temperatura de las placas isotérmicas permanece constante en el tiempo durante la transferencia de calor.
En cambio, en régimen No-permanente la temperatura variará con el tiempo
(Se verá en la siguiente Unidad).
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EN CLASE 1.- El alumno deberá poder explicar los siguientes conceptos:
Superficie isotérmica
Cuerpo técnicamente isótropo
Area de transferencia normal
Interpretar la Ec. 2.1
Perfil de temperatura
Calor por unidad de tiempo (Q); watts
Calor por unidad de tiempo y unidad de area (q); Watts/m2
Conductividad térmica (K)
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2.2. TRANSFERENCIA EN PLACAS DE PAREDES PLANAS
Resumen
Analizaremos los siguientes casos en flujo permanente de calor:

2.2.1 Placa de paredes planas (Ver Fig.2.2)
2.2.2 Varias placas planas adheridas de paredes planas (Ver Fig.2.4)
2.2.3 Placas planas adheridas teniendo fluidos en ambas caras (Ver Fig.2.6)
En cada caso se aplicará el siguiente orden:

a ) Se determinará la ecuación de el perfil o curva de distribución de las temperaturas sobre la placa mediante la Ecuación General de la Conducción.

b) Se graficará la curva de distribución de temperatura

c) Se determinará la ecuación de la rapidez de flujo de calor mediante la Ley de Fourier de la Conducción unidireccional.
2.2.1 TRANSFERENCIA EN PLACA PLANA SIN FUENTES INTERNAS DE CALOR

Consideremos la transferencia de calor en el caso más simple: una placa plana (Ver Fig.2.2) con flujo de calor en régimen permanente normal a sus caras, y dimensiones superficiales comparativamente grandes con respecto al espesor que permitan despreciar la influencia de los bordes y además considerar que las superficies isotérmicas son paralelas y donde las Temperaturas superficiales son T1 y T2. (Ver Fig. 2.2 y Fig. 2.3) :

Sobre la base de que:
a) El régimen de flujo es permanente y
b) La transferencia es unidireccional (dirección X), y Normal a la superficie.
c) La temperatura de las placas permanece constante en el tiempo (isotérmico) y en la posición (x,y,z).
Fig. 2.3
Fig. 2.2.
Tomando en cuenta que el flujo de calor se expresa de manera general como:
Deducir:
La ecuación del Perfil de Temperatura
La ecuación de la Rapidez de flujo de Calor Transferido (Q)
Para poder conocer la expresión de (R)
Perfil de Temperatura.- Deducir la Ecuación que describe el perfil de temperatura en una placa plana.
De acuerdo con la 1era. ley de la termodinámica, el balance de energía debe ser (Ver Fig. 2.3): el calor (por unidad de area) que entra (en x) menos el calor (por unidad de area) que sale (en x + Dx) es igual a cero:
Eliminando términos iguales (A, las dos caras de la placa son iguales en área) y obteniendo el límite cuando Dx tiende a cero, se expresa así:
Lo que equivale a (Teorema del valor medio) una expresión de derivada.

Y Como la derivada con respecto a (x) es igual a cero, (q) es una constante C1.
Ec. 2.6
A partir de la Ecuación unidireccional de Furier, Ec. 2.3, la rapidez de calor transferido por unidad de area (q) en una placa plana es:
Ec. 2.3
Igualando las ecuaciones Ec.2.3. y Ec. 2.6.
Reacomodando términos e integrando la función:
Se obtiene la siguiente expresión líneal y aparece otra constante de integración, C2:
Ec. 2.7
Las constantes de integración C1 y C2 se pueden evaluar mediante valores de dos condiciones de frontera, sabiendo que (x) representa una posición cualquiera a lo ancho del espesor (e):

1) Cuando: x = 0 ; T = T1
Entonces de la Ec. 2.7 : C2 = T1 ;
2) Cuando: x = L=e ; T = T2
Entonces de la Ec. 2.7:
Ec. 2.8
Despejando:
Sustituyendo C1 y C2 en la expresión lineal, Ec. 2.7,
Reacomodando términos el campo de temperaturas queda :
Ec. 2.9
La Ec. 2.7 determina las temperaturas en la placa plana a diferentes posiciones (x) a lo ancho del espesor (e). Expresión que puede ser graficada y el perfil que se obtiene es una línea recta inclinada. Ver graficación enseguida.
Graficación del perfil de temperatura.-Grafiquemos la ecuación del perfil de temperatura (en oC) para una placa plana en diferentes posiciones a lo ancho del espesor (en Cm), ecuación Ec. 2.9.
Datos:
Posiciones (x) a lo ancho del espesor (e):
Resultados :
Rapidez de flujo de Calor Transferido (Q).- Deducir la Ecuación del calor que se transfiere en una placa plana de area (dA). Sustituyendo el valor de C1 de la Ec. 2.8 en la ecuación de Fourier, Ec. 2.3:
Integrando la expresión, se obtiene:
Ec. 2.10
Reacomodando los términos (K) y (A):
Ec. 2.11
Donde Area (A) de tranferencia es igual al ancho (a) por largo (L) de la placa plana de transferencia:
Además, la siguiente expresión, se conoce como resistencia térmica:
Ec. 2.12
Si sustituimos (R) en la Ec. 2.11 queda así:
Observe la similitud que tiene con la ecuación de la Ley de Ohm en electricidad.
2.2.2.- TRANSFERENCIA EN VARIAS PLACAS PLANAS ADHERIDAS
(SIN FUENTES INTERNAS DE CALOR)
La transferencia de calor se realiza en más de una placa plana adheridas. Ver Fig. 2.4 y Fig. 2.5 La Ec. 2.11 se modifica para incluir las siguiente consideraciones :
1.- El calor transferido entre todas las capas es el mismo
2.- Las temperaturas superficiales son: T1 y T(n+1)
3.- La temperatura intermedia o sea entre placas es: Ti
4.- Las resistencias térmicas de las (n) placas se suman
5.- (K) es diferente si las placas son de diferentes materiales
Fig. 2.5
Fig. 2.4
El balance de calor y la ecuación de flujo de calor combinado, Ver Fig. 2.5 (considerando (n) placas adheridas) quedan así:
Ec. 2.13
2.2.3.- PLACAS PLANAS ADHERIDAS TENIENDO FLUIDO EN AMBAS CARAS (SIN FUENTES INTERNAS DE CALOR)
En este caso se presenta el proceso de transferencia de calor combinado: CONVECCIÓN-CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN. Ver Fig. 2.6 y Fig. 2.7. La Ec. 2.13 se modifica para incluir las siguiente consideraciones :
1.- El calor transferido en todas las capas es el mismo
2..- Las temperaturas superficiales son: T1 y T(n+1)
3.- La temperatura intermedia o sea entre placas es: Ti
4..- Las temperaturas fluídicas son: Tf1 y Tf2
5.- Las resistencias térmicas de las (n) placas se suman
6.- (K) es diferente si las placas son de diferentes materiales
7.- (h) es diferente si los fluidos son diferentes
Fig. 2.7
Fig. 2.6
Tomando en cuenta que el flujo de calor se expresa de manera general como:
Sustituyendo la Resistencia Térmica (R), regresamos a la ecuación de el flujo de calor de convección, Ec. 1.2.
El balance de calor y la ecuación de flujo de calor combinado,Ver Fig. 2.6 (considerando los dos fluidos) quedan así:
Ec. 2.14
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TAREA 1 A ENTREGAR: El alumno presentará en hojas engrapadas, y deberá poder explicar los siguientes conceptos:

Para una placa plana:
a) Perfil de temperatura, su fórmula.

b)Para una placa plana, para varias placas planas adheridas, para placas planas con fluidos en ambas cara exteriores:
1.-Rapidez de calor para cada caso
2.-Resistencia Térmica para cada caso
3.-Efectos que hacen los fluidos
4.- Area de flujo de calor

c) Hacer una tabla comparativa de fórmulas para los casos b) anterior
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____________________________________________________
Ejemplo 2.1
Considere una pared plana de cobre (K=375 Watts/m.K) de 1 Cm de espesor, la cual está expuesta por uno de sus áreas a un vapor de agua condensandose (h=10000 Watts/m2.K) a una temperatura de 200 oC. La otra área está en contacto con aire ambiente (h=5 Watts/m2.K) a una temperatura de 25 oC.
a) Calcule el flujo de calor por unidad de área transferido a través de la placa
b) Determine las temperaturas en ambas áreas de la pared.
Solución
1. INFORMACION
1.1.- Datos
ha = 5 W/m2.K
hw = 10000 W/m2.K
K = 375 W/m.K
e = 1 Cm
Tf1 = 200 oC
Tf2 = 25 oC
1.2.- Requerimientos
Flujo por unidad de área (q) y T1, T2
2. ANALISIS Y FORMULARIO
Balance:
2.1 1er flujo de calor por area (q):
2.2 Temperatura T1:
2.3 Temperatura T2:
3. CALCULOS Y REsultados
3.1 Flujo de calor por area (q): Considere una unidad de area de 1 m2.
(En este caso se hace uso de Mathcad).
3.2 Temperatura T1:
En grados kelvin
En grados Centígrados
3.3 Temperatura T2:
En grados kelvin
En grados Centígrados
--------------------------------------------------------------------------------------
Ejemplo similar al 2.1
Considerando el mismo caso anterior, pero la temperatura T2 es igual a 500 oK y el area de transferencia es de 0.5m cada lado. Calcule:
a) Flujo de calor por area (q)
b) La temperatura del aire ambiente
c) El calor de convección
____________________________________________________
Ejemplo 2.2
Considere la pared plana de un horno de estufa, la cual está constituída por dos placas de acero delgadas cuyas constantes de conductivida se desprecian. Entre las dos placa se encuentra un aislante de fibra de vidrio (K=0.035 Watts/m.K). La temperatura máxima que alcanza el horno es de 250 oC, mientras que la temperatura ambiente en la cocina puede variar entre 20 y 35 oC. Calcule el espesor del aislante para evitar que la temperatura en la superficie externa no excede de 60 oC. El coeficiente de transferencia de calor para convección en ambas superficies puede suponerse de 10 Watts/m2.C
Solución
1. INFORMACION
1.1.- Datos
K = 0.035 W/m.K
Tf1 = 250 oC
Tf2 = 35 oC
T2= 60oC
h = 10 Watts/m2.C
1.2.- Requerimientos
Espesor (e) del aislante
2. ANALISIS Y FORMULARIO
Las dos placas de acero se desprecia su resistencia, o sea como si no existieran, solo se considera el aislante.
Balance:
2.1 1er flujo de calor :
2.2 2o. flujo de calor:
Sustituyendo R2 y despejando (e):
3. CALCULOS Y RESULTADOS
3.1 1er flujo de calor: Consideremos area unitaria igual a 1m2.
(En este caso se hace uso de Mathcad).
3.2 Espesor:
si:
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Ejemplo similar al 2.2
Considerando el mismo caso anterior del termostato que mide la temperatura pero ahora el aire alcanza una temperatura de125 grados centígrados. Calcule:
a) La temperatura que mide el termostato
b) El calor transferido en forma de radiación
c) El calor transferido en forma de convección
____________________________________________________
Ejemplo 2.3
Calcule el flujo de calor que atravieza la pared compuesta, mostrada en la figura. Suponga que el flujo es unidireccional y que los datos disponibles son:
T1=50 oC
T4=20 oC
eA=1 Cm
eB=eC=1 Cm
eD=2 Cm
KA=200 W/m.C
KB=50 W/m.C
KC=40 W/m.C
KD=90 W/m.C
Solución
1. INFORMACION
1.1.- Datos
ENLISTADOS
1.2.- Requerimientos
Flujo de calor
2. ANALISIS Y FORMULARIO
Balance:
2.1 Flujo de calor:
3. CALCULOS Y RESULTADOS
3.1 Asumamos área unitaria igual a 1 m2.
(Usando de Mathcad).
(En el libro: 1.11 x 10-3)
W atts
¿Cual de las cuatro paredes conduce menos calor?
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Ejemplo similar al 2.3
Considerando el mismo caso pero que el calor que se atravieza es de 80000 W:
Calcule:
a) La temperatura T2
b) El calor de conducción del material B.
__________________________________________________________
2.3. TRANSFERENCIA EN PLACAS CURVAS DE PAREDES CILINDRICAS
Resumen2
Analizaremos los siguientes casos en flujo permanente de calor:

2.3.1 Placa curva de paredes cilíndricas
2.3.2 Varias placas curvas adheridas de paredes cilíndricas
2.2.3.- Placas curvas adheridas teniendo fluidos en ambas caras
En cada caso se aplicará el siguiente orden:

a ) Se determinará el perfil o curva de distribución de las temperaturas sobre la placa mediante la Ecuación General de la Conducción.

b ) Se determinará la rapidez de flujo de calor mediante la Ley de Fourier de la Conducción unidireccional.
2.3.1 PLACAS CURVAS DE PAREDES CILÍNDRICAS SIN FUENTES INTERNAS

Consideremos la pared de un cilindro hueco donde las Temperaturas superficiales son: T1 y T2, de radio exterior R2 y radio interior R1 y es de un material cuya conductividad térmica constante es (K) y de espesor (dr). Consideremos que el flujo de calor es solamente radial y hacia el exterior.
Y (r) es desde el centro del cilindro hasta cualquier posición a lo ancho del espesor. Ver Fig. 2.8 y Fig. 2.9
Fig. 2.9
Fig. 2.8
Tomando en cuenta que el flujo de calor se expresa de manera general como:
Deducir:
La ecuación del Perfil de Temperatura
La ecuación de la Rapidez de flujo de Calor Transferido (Q)
Para poder conocer la expresión de (R)
Perfil de Temperatura.- Deducir la ecuación que describe el perfil de temperatura en la placa curva de espesor (dr).
De acuerdo con la 1era. ley de la termodinámica, el balance de energía debe ser (Ver Fig. 2.9): el calor (por area) (q) que entra (en r) menos el calor (por area) que sale (en r + Dr) es igual a cero:
Donde Area de transferencia (A) de la superficie curva es:
Eliminando términosconstantes (2, p, L) solo queda la variable (r):
Obteniendo el límite cuando (Dr) tiende a cero, se expresa así:
Lo que equivale a (Teorema del valor medio) una expresión de derivada.
Y Como la derivada con respecto a (r) es igual a cero, el parámetro en el paréntesis es una constante. Reacomodando (r):
Ec. 2.15
A partir de la Ecuación unidireccional de Furier, Ec. 2.3, la rapidez de calor transferido por unidad de area (q) en una placa curva de paredes cilíndricas de espesor (dr) es cualquiera de estas dos formas:
Ec. 2.3
Igualando las ecuaciones Ec.2.3. y Ec. 2.15.
Ec. 2.16
Donde C1 es una constante de integración.
Reacomodando términos e integrando de nuevo la función:
Se obtiene una expresión logarítmica y aparece otra constante de integración, C2::
Ec. 2.17
Las constantes de integración C1 y C2 se pueden evaluar mediante valores de dos condiciones de frontera, sabiendo que (r) representa una posición cualquiera a lo ancho del espesor (e)::
1) Cuando: r = R1 ; T = T1 Sustituyendo en Ec. 2.17 y despejando C2:
Sustituyendo C2 en la Ec. 2.17 y agrupando términos:
Ec. 2.18
2) Cuando: r = R2 ; T = T2 Sustituyendo en Ec. 2.17 y despejando:
Entonces:
Agrupando, factorizando:
Despejando:
Ec. 2.19
Sustituyendo C1 en la Ec. 2.18, y reacomodando términos el campo de temperaturas queda :
Ec. 2.20
La Ec. 2.20 determina las temperaturas en la placa curva a diferentes posiciones (r) del espesor. Expresión que puede ser graficada.
Graficación del perfil de temperatura.-Grafiquemos la ecuación del perfil de temperatura (en oC) para una placa curva en diferentes posiciones a lo ancho del espesor (en Cm), ecuación Ec. 2.20.
Datos:
Posiciones (r) a lo ancho del espesor (e):
Resultados :
Rapidez de flujo de Calor Transferido.- Deducir la Ecuación del calor que se transfiere en una placa curva cilíndrica. Volviendo a la ecuación de Furier, Ec. 2.3 y sustituyendo el valor de C1 de la Ec. 2.19.
Considerando transferencia unidireccional (dirección radial):
Integrando la expresión se obtiene la rapidez de flujo de calor:
Ec. 2.21
Como el area total de transferencia (A) del cilindro es igual al perímetro (p) por longitud (L) del cilindro:
Ec. 2.22
Sustituyendo (A) y eliminado el radio (r):
Reacomodando los términos: 2p, K, L:
Ec. 2.23
Donde la siguiente expresión, se conoce como resistencia térmica:
Ec. 2.24
Si sustituimos (R) en la Ec. 2.23 queda así:
Observe la similitud que tiene con la ecuación de la Ley de Ohm en electricidad.
2.3.2 VARIAS PLACAS CURVAS (DE PAREDES CILINDRICAS) ADHERIDAS (SIN FUENTES INTERNAS DE CALOR)
Considerando más de una placa curva adheridas, (Ver Fig. 2.10 y 2.11). La ecuación Ec.2.23 se modifica para incluir las siguientes consideraciones:
1.- El calor transferido entre todas las capas es el mismo
2..- Las temperaturas superficiales son: T1 y T(n+1)
3.- La temperatura intermedia o sea entre placas es: Ti
4.- Las resistencias térmicas de las (n) placas se suman
5.- (K) es diferente si las placas son de diferentes materiales
Fig. 2.11
Fig. 2.10
El balance de calor y la ecuación de flujo de calor combinado, (considerando (n) placas adheridas) quedan así:
Ec. 2.25
2.3.3 PLACAS CURVAS (DE PAREDES CILINDRICAS) ADHERIDAS TENIENDO FLUIDO EN AMBAS CARAS (SIN FUENTES INTERNAS DE CALOR)
En este caso se presenta el proceso de transferencia de calor combinado: CONVECCIÓN-CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN (Ver Fig. 2.12 ).
La Ec. 2.25 se modifica para incluir las siguiente consideraciones :
1.- El calor transferido en todas las capas es el mismo
2..- Las temperaturas superficiales son: T1 y T(n+1)
3.- La temperatura intermedia o sea entre placas es: Ti
4..- Las temperaturas fluídicas son: Tf1 y Tf2
5.- Las resistencias térmicas de las (n) placas se suman
6.- (K) es diferente si las placas son de diferentes materiales
7.- (h) es diferente si los fluidos son diferentes
Fig. 2. 12
Tomando en cuenta que el flujo de calor se expresa de manera general como:
Sustituyendo la Resistencia Térmica (R), regresamos a la ecuación de el flujo de calor de convección, Ec. 1.2.
El balance de calor y la ecuación de flujo de calor combinado, (considerando los dos fluidos) quedan así:
Ec. 2.26
Donde el area total superficial de transferencia del cilindro (A) es igual al perímetro (p) por longitud (L) del cilindro, del lado fluido f1 o del lado fluido f2:
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TAREA 2 A ENTREGAR: El alumno presentará en hojas engrapadas, y deberá poder explicar los siguientes conceptos:
Para una placa curva de un cuerpo cilíndrico:
a) Perfil de temperatura, su fórmula.

b)Para una placa curva, para varias placas curvas adheridas, para placas curvas con fluidos en ambas cara exteriores:
1.-Rapidez de calor para cada caso
2.-Resistencia Térmica para cada caso
3.-Que efectos hacen los fluidos
4.- Area de flujo de calor

c) Hacer una tabla comparativa de fórmulas para los casos b) anterior
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__________________________________________________________
2.4. TRANSFERENCIA EN PLACAS CONCAVAS DE PAREDES ESFERICAS
Resumen3
Analizaremos los siguientes casos en flujo permanente de calor:

2.4.1 Placa cóncava de paredes esféricas
2.4.2 Varias placas cóncavas adheridas de paredes esféricas
2.4.3.- Placas cóncavas adheridas teniendo fluidos en ambas caras
En cada caso se aplicará el siguiente orden:

a ) Se determinará la ecuación de el perfil o curva de distribución de las temperaturas sobre la placa mediante la Ecuación General de la Conducción.

b ) Se determinará la ecuación de la rapidez de flujo de calor mediante la Ley de Fourier de la Conducción unidireccional.
2.4.1. PLACA CONCAVA (DE PAREDES ESFERICAS) SIN FUENTES INTERNAS

Consideremos la pared de una esfera hueca donde las Temperaturas superficiales, son: T1 y T2, de radio interior R1 y radio exterior R2 y es de un material cuya conductividad térmica constante es (K) y de espesor (dr). Consideremos que el flujo de calor es solamente radial y hacia el exterior. Y (r) es desde el centro de la esfera hasta cualquier posición a lo ancho del espesor. Ver Fig. 2.13.
Fig. 2.13
Tomando en cuenta que el flujo de calor se expresa de manera general como:
Deducir:
La ecuación del Perfil de Temperatura
La ecuación de la Rapidez de flujo de Calor Transferido (Q)
Para conocer la expresión de (R)
Perfil de Temperatura.- Deducir la Ecuación que describe el perfil de temperatura en la placa cóncava de espesor de placa (dr).
De acuerdo con la 1era. ley de la termodinámica, el balance de energía debe ser: el calor (por area) (q) que entra (en r) menos el calor que sale (en r + Dr) es igual a cero:
Donde Area de transferencia (A) de la superficie isotérmica cóncava es:
Eliminando términos constantes (4, p, L) solo queda la variable (r):
Obteniendo el límite cuando (Dr) tiende a cero, se expresa así:
Lo que equivale a (Teorema del valor medio) una expresión de derivada.
Y Como la derivada con respecto a (r) es igual a cero, el parámetro en el paréntesis es una constante C1. Reacomodando (r):
Ec. 2.27
A partir de la Ecuación unidireccional de Furier, Ec. 2.3, calor transferido por unidad de area (q) en una placa cóncava de paredes esféricas de espesor (dr) es, cualquiera de estas formas:
Igualando las ecuaciones Ec.2.3. y Ec. 2.27.
Ec. 2.28
Reacomodando términos e integrando la función:
Se obtiene la siguiente expresión exponencial (r-1) y aparece otra constante de integración, C2::
Ec. 2.29
Las constantes de integración C1 y C2 se pueden evaluar mediante valores de dos condiciones de frontera , sabiendo que (r) representa una posición cualquiera a lo ancho del espesor (e):

1) Cuando: r = R1 ; T = T1 Sustituyendo en Ec. 2.29 y despejando C2:
Sustituyendo C2 en la Ec. 2.29, y reacomodando términos el campo de temperaturas queda :
Ec. 2.30
2) Cuando: r = R2 ; T = T2 Sustituyendo en Ec. 2.29 y despejando:
Entonces:
Agrupando y factorizando:
Despejando:
Ec. 2.31
Sustituyendo C1 en Ec. 2.30:
Reacomodamos y cambiamos signos:
Ec. 2.32
Donde, espesor (e) de la placa es:
La Ec. 2.32 determina las temperaturas en la placa cóncava a diferentes posiciones (r) del espesor de placa (e). Esta expresión se puede graficar. ¿Que línea resulta el perfil de temperatura?
Graficación del perfil de temperatura.-Grafiquemos la ecuación del perfil de temperatura (en oC) para una placa concava en diferentes posiciones a lo ancho del espesor (en Cm), ecuación Ec. 2.32.
Datos:
Posiciones (r) a lo ancho del espesor (e):
Resultados :
Rapidez de Calor Transferido.- Deducir la Ecuación del calor que se transfiere en una placa cóncava de area (dA). Volviendo a la ecuación de Furier, Ec. 2.3 y sustituyendo el valor de C1 de la Ec. 2.31
Considerando transferencia unidireccional (dirección r):
Integrando la expresiónse obtiene:
Ec. 2.33
Como area total de transferencia (A) de la esfera es igual 4 pi por radio al cuadrado :
Ec. 2.34
Sustituyendo y eliminado el radio (r2):
Reacomodando los términos 4p, K:
Ec. 2.35
Esta expresión se conoce como resistencia térmica:
Ec. 2.36
Si sustituimos (R) en la Ec. 2.35 queda así:
Observe la similitud que tiene con la ecuación de la Ley de Ohm en electricidad.
2.4.2 VARIAS PLACAS CONCAVAS (DE PAREDES ESFERICAS) ADHERIDAS (SIN FUENTES INTERNAS DE CALOR)
Considerando más de una placa cóncava adheridas, (Ver Fig 2.13). La Ec. 2.35 se modifica para incluir las siguientes consideraciones:
1.- El calor transferido entre todas las capas es el mismo
2.- Las temperaturas superficiales son: T1 y T(n+1)
3.- La temperatura intermedia o sea entre placas es: Ti
4.- Las resistencias térmicas de las (n) placas se suman
5.- (K) es diferente si las placas son de diferentes materiales
Fig. 2.13
El balance de calor y la ecuación de flujo de calor combinado, (considerando (n) placas adheridas) quedan así:
Ec. 2.37
2.4.3 PLACAS CONCAVAS (DE PAREDESESFERICAS) ADHERIDAS TENIENDO FLUIDO EN AMBAS CARAS (SIN FUENTES INTERNAS DE CALOR)
En este caso se presenta el proceso de transferencia de calor combinado: CONVECCIÓN-CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN. Ver Fig, 2.14.
La Ec. 2.37 se modifica para incluir las siguientes consideraciones:
1.- El calor transferido en todas las capas es el mismo
2..- Las temperaturas superficiales son: T1 y T(n+1)
3.- La temperatura intermedia o sea entre placas es: Ti
4..- Las temperaturas fluídicas son: Tf1 y Tf2
5.- Las resistencias térmicas de las (n) placas se suman
6.- (K) es diferente si las placas son de diferentes materiales
7.- (h) es diferente si los fluidos son diferentes
Fig. 2.14
Tomando en cuenta que el flujo de calor se expresa de manera general como:
Sustituyendo la Resistencia Térmica (R), regresamos a la ecuación de el flujo de calor de convección, Ec. 1.2.
El balance de calor y la ecuación de flujo de calor combinado, (considerando los dos fluidos) quedan así:
Ec. 2.38
Donde el area total superficial de transferencia de la esfera (A) es igual 4 pi por radio al cuadrado, tanto del lado fluido f1 y del lado fluido f2:
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TAREA 3 A ENTREGAR: El alumno presentará en hojas engrapadas, y deberá poder explicar los siguientes conceptos:

Para una placa cóncava de un cuerpo esférico:
a) Perfil de temperatura, su fórmula.

b)Para una placa cóncava, para varias placas cóncava adheridas, para placas cóncava con fluidos en ambas cara exteriores:
1.-Rapidez de calor para cada caso
2.-Resistencia Térmica para cada caso
3.-Que efectos hacen los fluidos
4.- Area de flujo de calor

c) Hacer una tabla comparativa de fórmulas para los casos b) anterior
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TAREA 4 A ENTREGAR: El alumno presentará en hojas engrapadas un resúmen de fórmulas (Formulario) que conciste en:

1) Hacer una tabla comparativa de fórmulas para los tres casos expuestos (tareas anteriores), conteniendo:

a).-Perfil de temperatura
b).-Rapidez de calor para cada caso
c).-Resistencia Térmica para cada caso
d).- Areas de flujo de calor
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2.5. PROBLEMAS RESUELTOS